24-05-2006

Maximal mögliches Magnetfeld

Theoretiker haben berechnet, dass bei zu großen Magnetfeldstärken das Positronium kollabieren würde.

Ob ein Magnetfeld stark ist oder nicht, dass war bisher Ansichtssache. Das Hochfeld-Magnetlabor in Dresden soll Feldstärken von 106 Gauß erreichen und damit das Magnetfeld der Erde millionenfach übertreffen. Kompakte astronomische Objekte wie Weiße Zwerge, Neutronensterne oder Schwarze Löcher sind von Magnetfeldern umgeben, deren Feldstärke zwischen 108 und 1017 Gauß liegt. In der Nähe der (bisher hypothetischen) supraleitenden kosmischen Strings sollen sogar Feldstärken von 1047 Gauß herrschen. Doch jetzt haben Physiker aus Russland und Israel berechnet, dass es eine maximal mögliche Magnetfeldstärke von etwa 1042 Gauß geben sollte.

Anatoly Shabad vom Lebedev Physics Institute in Moskau und Vladimir Usov vom Weizmann Institute in Rehovot haben untersucht, welche Auswirkungen ein ultrastarkes Magnetfeld auf das Positronium hätte – ein Elektron-Positron-Paar, das sich in einem gebundenen, wasserstoffähnlichen Zustand befindet. Je nach relativer Ausrichtung der Spins der beiden Teilchen zerfällt das Positronium innerhalb von 10–7 s (antiparallele Spins) oder 10–10 s (parallele Spins) durch Annihilation in zwei oder drei Gammaquanten. Da das Positronium keine stark wechselwirkenden Hadronen enthält wie der Atomkern, sondern nur aus Leptonen besteht, ist es das ideale Testobjekt für die Quantenelektrodynamik (QED). Zahlreiche Präzisionsmessungen haben die Vorhersagen der QED eindrucksvoll bestätigt.

Bei der Zerstrahlung des Positroniums wird eine Energie frei, die doppelt so groß ist wie die Ruhemasse des Elektrons (0,511 MeV), abzüglich der Bindungsenergie. Um ein Positronium im Vakuum zu erzeugen, muss man also gut 1 MeV aufwenden. In extrem starken Magnetfeldern verringert sich diese Erzeugungsenergie allerdings merklich. Shabad und Usov haben nun berechnet, bei welcher Magnetfeldstärke Bmax die Erzeugungsenergie zu Null wird und das Positronium gewissermaßen kollabiert. Umgekehrt wird dann das Vakuum instabil gegen eine spontane Erzeugung von Elektron-Positron-Paaren. Bei der Feldstärke Bmax werden somit die Gültigkeitsgrenzen der QED erreicht.

Für ihre Berechnung von Bmax setzen die Forscher allerdings die Gültigkeit der QED voraus. Wenn das Positronium einem hinreichend starken Magnetfeld ausgesetzt ist, so ist die Bewegung des Elektrons und des Positrons auf die niedrigsten Landau-Niveaus beschränkt. Die Teilchen bewegen sich dann auf Kreisbahnen senkrecht zur Magnetfeldrichtung. Mithilfe der Bethe-Salpeter-Gleichung kann man Informationen darüber gewinnen, wie das Elektron und das Positron die verschiedenen Landau-Niveaus besetzen. Im Grenzfall eines unendlich starken Magnetfeldes vereinfacht sich die Berechnung erheblich, weil das niedrigste Landau-Niveau von allen höheren Niveaus entkoppelt. Man erhält eine eindimensionale Gleichung, die das Verhalten des Positroniums indirekt beschreibt.

Diese Gleichung hat die Form einer Schrödinger-Gleichung für den Radialteil der Wellenfunktion eines (fiktiven) Teilchens in einem singulären Kugelpotential, bei dem das Teilchen ins Zentrum stürzen kann. Die kreisförmige Larmor-Bewegung des Elektrons und des Positron kann diesen Absturz verhindern, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind. Der Larmor-Radius muss viel kleiner sein als die Compton-Wellenlänge des Elektrons. Dann kann man ihn als untere Grenze für das Radiusintervall nehmen, in dem sich das Teilchen bewegt. Gibt man geeignet Randbedingungen auf der unteren Intervallgrenze vor, so muss dieses Randwertproblem auch eine Lösung besitzen, die einem Positronium mit nach unten beschränkter Energie entspricht. Andernfalls ist der Absturz unvermeidlich.

Je stärker das magnetische Feld ist, umso näher kommt die untere Intervallgrenze dem singulären Zentrum des Potentials. Schließlich ist ein Punkt erreicht, an dem das Randwertproblem nicht mehr lösbar ist. Das geschieht bei einer Feldstärke Bmax von ungefähr 1042 Gauß. Bei dieser Magnetfeldstärke entspricht die untere Intervallgrenze einem Abstand zwischen Elektron und Positron von 10–27 m. Ob bei der dort herrschenden elektrischen Feldstärke von 1045 V/m die Quantentheorie in ihrer herkömmlichen Form noch gilt, ist fraglich. Die Forscher weisen darauf hin, dass frühere Abschätzungen von Bmax, die die relativistischen Effekte nicht vollständig berücksichtigt hatten, einen um mehr als 10130 größeren Wert ergaben. Da relativistische Effekte die Anziehung zwischen Elektron und Positron vergrößern, wird das Positronium schon bei viel schwächeren Magnetfeldern instabil.

Wenn das Positronium in seinem Grundzustand der Feldstärke Bmax ausgesetzt ist, sind sein Impuls und seine Gesamtenergie Null. Dieser Zustand, der bezüglich der Koordinaten und des Spins der beiden Teilchen maximale Symmetrie hat, ist vom Vakuum nicht mehr durch eine Energielücke getrennt. Er könnte somit die Struktur des Vakuums nachhaltig beeinflussen. Versuchte man, Bmax zu überschreiten, so könnten aus dem Vakuum Elektronen und Positronen entstehen, die sich frei bewegen und das Magnetfeld abschirmen, sodass es stets unterhalb der maximal möglichen Magnetfeldstärke bleibt.

Rainer Scharf

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