08-02-2008

Kann man die Phase einer Quantentrommel hören?

Experimente mit isospektralen Nanostrukturen ermöglichen die vollständige Rekonstruktion von Wellenfunktionen.

Vor 42 Jahren hatte der Mathematiker Mark Kac ein damals noch ungelöstes mathematisches Problem sehr anschaulich formuliert: Kann man den Umriss einer Trommel hören? Lässt sich also die Form einer zusammenhängenden zweidimensionalen Membran, deren Rand fixiert ist, aus ihrem Schwingungsspektrum eindeutig bestimmen? Wie man inzwischen weiß, ist dies nicht der Fall. Es gibt „isospektrale“ Membranen von unterschiedlicher Gestalt, deren Schwingungsspektren somit völlig übereinstimmen. Jetzt haben Forscher der Stanford University verschiedene isospektrale Nanostrukturen hergestellt, mit deren Hilfe sie die Phase von Wellenfunktionen bestimmen konnten, ohne dabei auf die Beobachtung von Interferenzen angewiesen zu sein.

Die unterschiedlichen zweidimensionalen isospektralen Formen, die Christopher Moon und seine Kollegen mit Nanostrukturen nachgebaut haben, bestanden aus einer Anzahl gleicher Dreiecke und ihrer Spiegelbilder. Je zwei Dreiecke wurden so aneinander gelegt, dass sie eine Seite gemeinsam hatten und spiegelsymmetrisch zueinander lagen. Aus sieben Dreiecken ließen sich so zwei bizarre Formen aufbauen, die an ein Bilby (einen Kaninchennasenbeutler) oder an einen fliegenden Falken erinnern sollen. Dass „Bilby“ und „Falke“ isospektral sind, zeigt man durch Konstruktion ihrer Eigenfunktionen (d. h. des Laplace-Operators mit den entsprechenden Randbedingungen). Jede Bilby-Eigenfunktion wird dabei entlang der Berührungslinien der Dreiecke zerlegt und zu einer Falke-Eigenfunktion zusammengefügt, die dann denselben Eigenwert hat. Bilby- und Falke-Trommel klingen also gleich, obwohl sie sehr unterschiedlich aussehen. Dem „Falken“ viel ähnlicher ist der „gebrochene Falke“, der sich von diesem nur darin unterscheidet, dass zwei Dreieckspaare nicht spiegelsymmetrisch aneinander liegen. Doch das führt dazu, dass sich die Eigenfunktionen des „gebrochenen Falken“ nicht mehr aus denen des „Falken“ konstruieren lassen und die beiden Formen nicht mehr isospektral sind.

Die Forscher haben die drei Formen mit Nanostrukturen nachgebaut. Dazu haben sie auf einer Kupfer(111)-Oberfläche mit der Spitze eines Rastertunnelmikroskops 90 CO-Moleküle so positioniert, dass diese eng nebeneinander liegend die Umrisslinie von Bilby, Falke oder gebrochenem Falken ergaben. Das umschlossene Gebiet hatte eine Fläche von ca. 57 nm2. In diesem Gebiet waren etwa 30 oberflächennahe Elektronen eingeschlossen. Sie konnten sich im quasi zweidimensionalen Gebiet frei bewegen, aber die CO-Barriere nicht durchdringen. Ihre Wellenfunktionen und Energien wurden durch die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung bestimmt, die in diesem Fall auf das dasselbe Eigenwertproblem führt wie das der schwingenden Membran.

Waren der Nano-Bilby und der Nano-Falke tatsächlich isospektral, im Gegensatz zum gebrochenen Nano-Falken? Um das herauszufinden, maßen die Forscher an zahlreichen Punkten im Innern der Nanostrukturen mit dem Rastertunnelmikroskop, wie sich der elektronische Tunnelstrom I mit der angelegten Spannung V änderte. Da dI/dV ein Maß für die elektronische Zustandsdichte ist, ließen sich daraus Informationen über das Anregungsspektrum der oberflächennahen Elektronen gewinnen und damit das gesuchte Spektrum der Nanostruktur rekonstruieren. Die Spektrallinien waren zwar nicht scharf sondern verbreitert, da die angeregten Elektronen ihre Energie durch Stöße verlieren konnten. Doch aus den zahlreichen aufgenommenen dI/dV-Kurven ließen sich die Eigenenergien der Nanostrukturen auf wenige meV genau bestimmen. Darüber hinaus konnte man je nach Lage des Messpunkts im Innern der Nanostruktur auch den Beitrag der einzelnen Wellenfunktionen zum Tunnelstrom ablesen. Daraus konnte man die Ortsabhängigkeit der Amplituden der Wellenfunktionen rekonstruieren. Es zeigte sich, dass die Eigenenergien von Bilby und Falke auf 2 meV übereinstimmten, während der gebrochene Falke ein völlig anderes Spektrum hatte. Auch die gemessenen Amplituden der Eigenfunktionen von Bilby und Falke stimmten mit den Amplituden der konstruierten Eigenfunktionen überein.

Um auch die Phase der Eigenfunktionen zu erhalten, gingen die Forscher zu noch komplizierteren isospektralen Formen über, die aus 21 Dreiecken bestanden und die klangvollen Namen „Aye-Aye“ und „Beluga“ hatten. Auch diese Formen bildeten die Forscher als Nanostrukturen nach. Wieder hatten beide Formen übereinstimmende Spektren. Aufgrund der Zeitumkehrinvarianz der Elektronenbewegung hatten die Eigenfunktionen reelle Werte, sie konnten jedoch an unterschiedlichen Stellen unterschiedliches Vorzeichen haben. Ihre Phase konnte also 0 oder π sein. Auch in diesem Fall ließ sich aus jeder Aye-Aye-Wellenfunktion eine zugehörige Beluga-Wellenfunktion konstruieren, indem man sie längs der Dreiecklinien zerschnitt und neu zusammenfügte. Wurden bei dieser Konstruktion jedoch die (noch unbekannten) lokalen Vorzeichen der Aya-Aya-Eigenfunktionen nicht richtig gewählt, so war die konstruierte Wellenfunktion keine Beluga-Eigenfunktion, ja sie sie hatte nicht einmal die richtige Amplitude. Dadurch konnten die Forscher die lokalen Vorzeichen schrittweise korrigieren und somit die Phasen der Eigenfunktionen rekonstruieren – ohne dabei auf die Interferenz von Wellenfunktionen zurückgreifen zu müssen.

Rainer Scharf

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